Question

如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，CD=3，AB=1，EA=AD=DE=2，EC=

13

．
（Ⅰ）若F是線段DC上的點，DF=2FC，求證：AF∥平面EBC；
（Ⅱ）求三棱錐E-BDC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明四邊形ABCF為平行四邊形，可得AF∥BC，利用線面平行的判定定理，即可證明AF∥平面EBC；
（Ⅱ）取AD的中點H，連接EH、CH，證明EH⊥平面ABCD，即可求出求三棱錐E-BDC的體積．

解答： （I）證明：∵CD=3，DF=2FC，
∴FC=AB=1，又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCF為平行四邊形．…（2分）
∴AF∥BC，
又∵AF?平面EBC，BC?平面EBC，
∴AF∥平面EBC．…（5分）
（II）解：取AD的中點H，連接EH、CH．
∵EA=AD=DE=2，∴△ADE為正三角形，
∴EH⊥AD，EH=

3

．…（6分）
在Rt△HDC中，CD=3，DH=1，
∴HC=

CD2+DH2

=

32+12

=

10

，
在△EHC中，EH=

3

，HC=

10

，EC=

13

，∴EC²=EH²+HC²，∴∠EHC=90°，EH⊥HC．…（8分）
又∵AD?平面ABCD，HC?平面ABCD，AD∩HC=H，∴EH⊥平面ABCD，…（10分）
∵S△BCD=

1

2

×DC×AD=

1

2

×3×2=3，
故VE-BCD=

1

3

×S△BCD×EH=

1

3

×3×

3

=

3

．…（12分）

點評：熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理與線面、及三棱錐體積的求法是解題的關(guān)鍵．