Question

已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，離心率為

3

，且雙曲線過點(diǎn)（

2

，

2

），
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P（2，1）作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)使P為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用離心率公式及a，b，c的關(guān)系，代入雙曲線方程，得到2x²-y²=2a²，再代入點(diǎn)（

2

，

2

），解方程，即可得到a，b，進(jìn)而得到雙曲線方程；
（2）設(shè)出過P（1，2）點(diǎn)的直線AB方程，然后代入雙曲線方程，利用設(shè)而不求韋達(dá)定理求出k的值，求出AB的方程即可

解答： 解：（1）離心率為

3

，即e=

c

a

=

3

，
即c²=3a²，b²=c²-a²=2a²，
即有雙曲線方程為：2x²-y²=2a²，
代入點(diǎn)（

2

，

2

），則有4-2=2a²，
則a²=1，b²=2，
則雙曲線方程為：x²-

y2

2

=1；
（2）設(shè)過P（2，1）點(diǎn)的直線AB方程為y-1=k（x-2），
代入雙曲線方程得
（2-k²）x²-（2k-4k²）x-（k⁴-4k+3）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=

2k-4k2

2-k2

，
由已知

x1+x2

2

=x_p=2，
∴

k-2k2

2-k2

=2．解得k=4．
又k=4時(shí)，△＞0，從而直線AB方程為4x-y-7=0．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，以及直線的一般式，通過直線與雙曲線的方程的聯(lián)立，通過設(shè)而不求韋達(dá)定理解題，屬于中檔題．