Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)與在處有相同的切線，求的值；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍.

（3）若，恒有成立，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）2.

【解析】試題分析：（1）分別求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)解出，n的值；（2）即導(dǎo)函數(shù)變號，求出導(dǎo)函數(shù)得在內(nèi)有至少一個實根且變號，結(jié)合二次函數(shù)圖像可得判別式大于零，即，最后根據(jù)基本不等式求最值（3）先根據(jù)絕對值定義去掉絕對值，當(dāng)時；當(dāng)時，，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再利用參變分離法將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值得實數(shù)的取值范圍，進而得最大值.

試題解析：（1）函數(shù)在處的切線方程為 ，

由得，由得；

（2），

因為在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以在內(nèi)有至少一個實根且曲線與不相切，

因為，于是，

所以知，所以，

（3）當(dāng)時，由得，當(dāng)時；

當(dāng)時，，

令，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，

而，當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，最小值為，

為使恒成立，注意到，所以，即，

同理，當(dāng)時，，

綜上，當(dāng)，即的最大值為2.