已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由．

（1）（2）符合條件的點存在，其坐標為


解析:

（1）設橢圓的方程為，由已知得 ，，，

橢圓的方程為 ．

（2）法一：假設存在符合條件的點，又設，則：

 

①當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則由，

得，即，

，

，

所以 ，

對于任意的值，為定值，所以，得，

所以；

②當直線的斜率不存在時，直線，由得．

綜上述①②知，符合條件的點存在，起坐標為．

法二：假設存在符合條件的點，又設則：

，

=．

①當直線的斜率不為時，設直線的方程為，由，得，

，

．

設則

，，．

②當直線的斜率為時，直線，由得：

．

綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，左焦點為F1（-3，0），右準線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標準方程和離心率e；
（2）設P為橢圓上第一象限的點，F(xiàn)2為右焦點，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，且橢圓過點P（3，2），焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，一個焦點F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點A，B．求△AOB的面積．

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