Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax）+（b-2）x（a，b是常數(shù)），此函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線與直線x軸平行．
（Ⅰ）求a，b的值，并求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)m≠0，函數(shù)g（x）=

1

3

mx³-mx，x∈（1，2），總存在x₁∈（1，2），x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線與直線x軸平行，則f′（1）=0，且f（1）=-1，解方程，即可得到a，b，再求出f（x）的地單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值，且為最值；
（Ⅱ）求出f（x）在（1，2）的值域，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論m＞0，m＜0，g（x）的單調(diào)性，求出值域，由于任意x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，則f（x）的值域包含在g（x）的值域，列出不等式，解出，再求并集即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（ax）+（b-2）x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

+b-2，
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線與直線x軸平行，
則f′（1）=0，且f（1）=-1，
即有1+b-2=0，且lna+b-2=-1，
解得，a=1，b=1；
則f（x）=lnx-x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)0＜xx＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為f（1）=-1；
（Ⅱ）f（x）在（1，2）遞減，f（x）的值域?yàn)椋╨n2-2，-1），
g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=mx²-m=m（x²-1），
當(dāng)m＞0時(shí)，g′（x）＞0在（1，2）成立，g（x）遞增，g（x）的值域?yàn)椋?

2

3

m，

2

3

m）；
當(dāng)m＜0時(shí)，g′（x）＜0在（1，2）成立，g（x）遞減，g（x）的值域?yàn)椋?span id="tnj9nux" class="MathJye">

2

3

m，-

2

3

m）．
任意x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，
則在（1，2）內(nèi)，當(dāng)m＞0時(shí)，（ln2-2，-1）⊆（-

2

3

m，

2

3

m），
即有-

2

3

m≤ln2-2＜-1≤

2

3

m，解得，m≥3-

3

2

ln2；
當(dāng)m＞0時(shí)，（ln2-2，-1）⊆（

2

3

m，-

2

3

m），
即有

2

3

m≤ln2-2＜-1≤-

2

3

m，解得，m≤

3

2

ln2-3．
則m的取值范圍是（-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求極值、最值，考查任意存在性問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．