Question

已知動圓C過定點(diǎn)F（），且與直線x=相切，圓心C的軌跡記為E．，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB的面積等于時(shí)，求k的值；
（Ⅲ）在曲線E上，是否存在與k的取值無關(guān)的定點(diǎn)M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合條件的定點(diǎn)M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線的定義易知這是一條以為焦點(diǎn)，以x=為準(zhǔn)線的拋物線，即可得其標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）將直線與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求，將△OAB的面積表示為k的函數(shù)，求最值即可
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由MA⊥MB，得，再結(jié)合（Ⅱ）中的結(jié)論即可求得此定點(diǎn)
解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)C的軌跡方程為y²=-x，
（Ⅱ）．由方程組
消去x后，整理得
y²=-x，
y=k（x+1）
ky²+y-k=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理
∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)N，則N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=|ON||y₁|+|ON||y₂|
=|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=•1•
=…8'
∵S_△OAB=，
∴=．解得k=±
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），若（y₁-y）（y₂-y）+（x₁-x）（x₂-x）=0
?


故存在唯一的合乎題意的點(diǎn)M（0，0）
點(diǎn)評：本題綜合考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的關(guān)系，解題時(shí)要耐心細(xì)致，準(zhǔn)確作答