Question

在平面直角坐標系中，已知三個點列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），滿足向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，且點列{B_n}在斜率為6的直線上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）試用a₁，b₁與n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）設(shè)a₁=a，b₁=-a，在a₆與a₇兩項中至少有一項是數(shù)列{a_n}的最小項，試求實數(shù) a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）點列{B_n}在斜率為6的直線上，有 

bn+1-bn

(n+1)-n

=6?bn+1-bn=6
故數(shù)列{b_n}是公差為6的等差數(shù)列．                        
（Ⅱ）由向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，得直線A_nA_n+1與直線B_nC_n的斜率相等
即kAnAn+1=kBnCn，
∴

an+1-an

(n+1)-n

=

bn-0

n-(n-1)

=bn
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1

=

a1+b1(n-1)+ (n-1)(n-2) 2 ×6

∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
設(shè)二次函數(shù)f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是開口方向向上的拋物線
又∵在a₆與a₇兩項中至少有一項是數(shù)列{a_n}的最小項，則對稱軸為x=

a+9

6

在區(qū)間[

11

2

，

15

2

]內(nèi)，
即

11

2

≤

a+9

6

≤

15

2

∴24≤a≤36