Question

【題目】已知函數f（x）=x+ +lnx，a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，4）內單調遞增，求a的取值范圍；
（3）討論函數g（x）=f′（x）﹣x的零點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f（x）=x+ +lnx，（x＞0），

f′（x）=1﹣ + ，f′（1）=1，f（1）=2，

故切線方程是：y﹣2=x﹣1，

整理得：x﹣y+1=0

（2）解：f′（x）=1﹣ + = ，

若f（x）在區(qū)間（1，4）內單調遞增，

則x2+x﹣a≥0在（1，4）恒成立，

即a≤x2+x在（1，4）恒成立，

而y=x2+x的最小值是2，

故a≤2

（3）解：g（x）=f′（x）﹣x=1﹣ + ﹣x= ，（x＞0），

令h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0），

討論函數g（x）=f′（x）﹣x的零點個數，

即討論h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0）的零點個數，

即討論a=﹣x3+x2+x的交點個數，

令m（x）=﹣x3+x2+x，（x＞0），

m′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），

令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1，

∴m（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

∴m（x）max=m（1）=1，x→0時，m（x）→0，

x→+∞時，m（x）→﹣∞，

如圖示：

，

結合圖象：a＞1時，g（x）無零點，

a=1或a≤0時，g（x）1個零點，

0＜a＜1時，g（x）2個零點

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，問題轉化為a≤x2+x在（1，4）恒成立；（3）問題轉化為討論a=﹣x3+x2+x的交點個數，令m（x）=﹣x3+x2+x，（x＞0），根據函數的單調性恒成m（x）的大致圖象，結合圖象，通過討論a的范圍求出函數的零點即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．