Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|的最小值，并求取的最小值時x的取值范圍；
（2）若g（x）= 的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由絕對值三角不等式可得，

f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，

當(dāng)且僅當(dāng) ．即 ，即x∈[ ， ]]時等號成立，故f（x）的最小值為2

（2）解：g（x）= 的定義域為R等價于f（x）+m≠0在R上恒成立，

即f（x）+m=0在R上無解，所以m＞﹣2，即實數(shù)m的取值范圍為（﹣2，+∞）

【解析】（1）根據(jù)絕對值不等式的解法，進(jìn)行求解即可．（2）將g（x）= 的定義域為R，轉(zhuǎn)化為（x）+m≠0在R上恒成立，即f（x）+m=0在R上無解，結(jié)合函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．