【題目】如圖,設(shè)橢圓C1: =1(a>b>0),長軸的右端點與拋物線C2:y2=8x的焦點F重合,且橢圓C1的離心率是 .
(1)求橢圓C1的標準方程;
(2)過F作直線l交拋物線C2于A,B兩點,過F且與直線l垂直的直線交橢圓C1于另一點C,求△ABC面積的最小值,以及取到最小值時直線l的方程.
【答案】
(1)解:∵橢圓C1: =1(a>b>0),長軸的右端點與拋物線C2:y2=8x的焦點F重合,∴a=2,
又∵橢圓C1的離心率是 .∴c= ,b=1,∴橢圓C1的標準方程:
(2)解:過點F(2,0)的直線l的方程設(shè)為:x=my+2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
聯(lián)立 得y2﹣8my﹣16=0.
y1+y2=8m,y1y2=﹣16,∴|AB|= =8(1+m2).
過F且與直線l垂直的直線設(shè)為:y=﹣m(x﹣2)
聯(lián)立 得(1+4m2)x2﹣16m2x+16m2﹣4=0,
xC+2= ,xC= .
∴|CF|= .
△ABC面積s= |AB||CF|= .
令 ,則s=f(t)= ,f′(t)= ,
令f′(t)=0,則t2= ,即1+m2= 時,△ABC面積最。
即當m=± 時,△ABC面積的最小值為9,此時直線l的方程為:x=± y+2
【解析】(1)由已知可得a,又由橢圓C1的離心率得c,b=1即可.(2)過點F(2,0)的直線l的方程設(shè)為:x=my+2,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)聯(lián)立 得y2﹣8my﹣16=0.|AB|= ,同理得|CF|= .△ABC面積s= |AB||CF|= .令 ,則s=f(t)= ,利用導數(shù)求最值即可.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè)A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),且x1≠x2 , 證明: <f′( ).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)﹣x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個實數(shù)p,q,且p≠q,不等式 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.[15,+∞)
B.
C.[1,+∞)
D.[6,+∞)
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【題目】已知△ABC的兩頂點坐標A(﹣1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點C的軌跡為曲線M.
(I)求曲線M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點為D,當點A在以線段CD為直徑的圓上時,求直線BC的方程.
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【題目】△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, + = ,b=4,且a>c.
(1)求ac的值;
(2)若△ABC的面積為2 ,求a,c的值.
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【題目】給出下列命題:
①定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則f(x)一定不是R上的減函數(shù);
②用反證法證明命題“若實數(shù)a,b,滿足a2+b2=0,則a,b都為0”時,“假設(shè)命題的結(jié)論不成立”的敘述是“假設(shè)a,b都不為0”.
③把函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象向右平移 個單位長度,所得到的圖象的函數(shù)解析式為y=sin2x.
④“a=0”是“函數(shù)f(x)=x3+ax2(x∈R)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.
其中所有正確命題的序號為 .
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【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為 , ;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為 , ;兩人租車時間都不會超過四小時. (Ⅰ)求甲乙兩人所付的租車費用相同的概率.
(Ⅱ)設(shè)甲乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=92n﹣1 , n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若不等式Sn>tan﹣1,對一切n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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