如圖，已知是長軸為的橢圓上三點，點是長軸的一個頂點，過橢圓中心，且.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
(2)如果橢圓上兩點使直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實數(shù)使?請給出證明．
(1)(2) 存在實數(shù)使證明：設(shè)直線的方程為，所以直線的方程為由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
，所以同理
又，所以，所以，即存在實數(shù)使成立

試題分析：(1)以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，橢圓方程可設(shè)為

而為橢圓中心，由對稱性知
又，所以
又，所以
所以為等腰直角三角形，所以點的坐標(biāo)為
將 代入橢圓方程得   則橢圓方程為
(2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，
則直線的斜率為，直線的方程為，
直線的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
     ①
因為在橢圓上，所以是方程①的一個根，于是
  同理
這樣，
又，所以
即.所以，即存在實數(shù)使.
點評：本題對于高二文科學(xué)生有一定的難度，可區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓與直線相交于兩點．
（1）若橢圓的半焦距，直線與圍成的矩形的面積為8，
求橢圓的方程；
（2）若（為坐標(biāo)原點），求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)橢圓的四個頂點A、B、C、D, 若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點, 則橢圓的離心率為         __  ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設(shè)直線AP、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；
（2）求線段MN長的最小值；
（3）當(dāng)點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的焦距為（   ）
A． 10B． 5C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的兩焦點是,則其焦距長為            ，若點是橢圓上一點，且 是直角三角形，則的大小是            .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且．
（1）求橢圓的離心率； （2）若過、、三點的圓恰好與直線：相切，
求橢圓的方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓上有兩點P、Q ,O為原點,若OP、OQ斜率之積為,等于(      )
A． 4B． 64C． 20D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線y＝x＋3與曲線－＝1交點的個數(shù)為___________.

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同步練習(xí)冊答案