Question

19．已知動直線l₀：ax+by+c-2=0（a＞0，c＞0）恒過點P（1，m）且Q（4，0）到動直線l₀的最大距離為3，則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{c}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 1
• D． 9

Answer 1

分析 由題意可得：可得a+bm+c-2=0．又Q（4，0）到動直線l₀的最大距離為3，可得$\sqrt{（4-1）^{2}+{m}^{2}}$=3，解得m=0．a(chǎn)+c=2．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：動直線l₀：ax+by+c-2=0（a＞0，c＞0）恒過點P（1，m），∴a+bm+c-2=0．
又Q（4，0）到動直線l₀的最大距離為3，
∴$\sqrt{（4-1）^{2}+{m}^{2}}$=3，解得m=0．
∴a+c=2．
則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{c}$=$\frac{1}{2}$（a+c）$（\frac{1}{2a}+\frac{2}{c}）$=$\frac{1}{2}（\frac{5}{2}+\frac{c}{2a}+\frac{2a}{c}）$≥$\frac{1}{2}$$（\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{c}{2a}•\frac{2a}{c}}）$=$\frac{9}{4}$，當且僅當c=2a=$\frac{4}{3}$時取等號．
故選：B．

點評 本題考查了直線方程、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力 與計算能力，屬于中檔題．