Question

【題目】定義：設(shè)是正整數(shù)，如果對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，即有，那么稱數(shù)列的前項(xiàng)可被數(shù)列的第項(xiàng)替換.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列是公比為1的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用，表示）；

（2）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足；

①求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

②若數(shù)列的前可被數(shù)列的前項(xiàng)替換，且的最大值為8，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，，②

【解析】

（1）依題意可得，再利用計(jì)算可得；

（2）①由，得到，即可得證，還需計(jì)算；

②由題意知對(duì)一切恒成立，即，令，判斷的單調(diào)性，即可得到的取值范圍.

（1）∵是公差為1的等差數(shù)列且首項(xiàng)為，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，

∴.

（2）①∵ ①

當(dāng)時(shí)， ②

①-②得，

在①式令，得，

∴，

故，

∴為等比數(shù)列，.

②由題意知對(duì)一切恒成立，

∴，即，

令，

，

∴單調(diào)遞增，

∴.

另一方面對(duì)一切且恒成立，

即，，，

∴.