Question

在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A₁（a，0），B₁（0，a）其中a＞0，過△OA₁B₁內(nèi)心C₁作平行A₁B₁的直線A₂B₂分別交x軸、y軸于A₂，B₂，再過△OA₂B₂內(nèi)心C₂作平行A₁B₁的直線A₃B₃…，設(shè)△OA_nB_n的直角邊長(zhǎng)為x_n，則x_n與x_n-1之間的關(guān)系是

xn=(2-

2

)xn-1

．

Answer 1

分析：首先應(yīng)求出x₂．設(shè)C₁（m，m）（m＞0），則△OA₁B₁內(nèi)切圓半徑r=m，且OA₂=

2

OC₁=

2

×

2

m，關(guān)鍵是如何求解m（r）：利用等面積法，S_△OA1B1=

1

2

a²=

1

2

c•m（c為△OA₁B₁ 周長(zhǎng)），可求出r，由此確定出x₁與x₂之間的關(guān)系
，依此類推，得出x_n與x_n-1之間的關(guān)系．

解答：解：如圖所示，設(shè)C₁（m，m）（m＞0），則△OA₁B₁內(nèi)切圓半徑r=m．
利用等面積法，S_△OA1B1=

1

2

a²=

1

2

c•m（c為△OA₁B₁ 周長(zhǎng)），
∴m=

a2

2a+ 2 a

=

2- 2

2

a，
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，OA₂=

2

OC₁=

2

×

2

m=（2-

2

）a，
即x₂=（2-

2

）a，∴

x2

x1

=2-

2

，
以（2-

2

）a代替a，可得OA₃=（2-

2

）（2-

2

）a，
∴

x3

x2

=2-

2

，依此類推可得
xn=(2-

2

)xn-1．
故答案為：xn=(2-

2

)xn-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式求解，三角形與內(nèi)切圓關(guān)系的應(yīng)用，等面積法．關(guān)鍵是求內(nèi)切圓半徑，以便求出直角三角形的直角邊．