【題目】如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.

(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDEF;

(Ⅱ)求證:FC∥平面EAD;

(Ⅲ)求二面角A﹣FC﹣B的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)

【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)相交于點,連接,因為四邊形為菱形,所以,且中點,由,知,由此能夠證明平面;(Ⅱ)因為四邊形均為菱形,所以,平面平面,由此能夠證明平面;(Ⅲ)因為四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,因為中點,所以,故平面,由兩兩垂直,建立空間直角坐標系,設(shè),因為四邊形為菱形, ,則,所以, ,求得平面的法向量為,平面的法向量為,由此能求出二面角的余弦值.

試題解析:(Ⅰ)證明:設(shè)AC與BD相交于點O,

連接FO.因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD,且O為AC中點.

又 FA=FC,所以 AC⊥FO.

因為 FO∩BD=O,

所以 AC⊥平面BDEF.

(Ⅱ)證明:因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形,

所以AD∥BC,DE∥BF,

所以 平面FBC∥平面EAD.

又FC平面FBC,所以FC∥平面EAD.

(Ⅲ)解:因為四邊形BDEF為菱形,且∠DBF=60°,

所以△DBF為等邊三角形.

因為O為BD中點,所以FO⊥BD,故FO⊥平面ABCD.

由OA,OB,OF兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz. …(9分)

設(shè)AB=2.因為四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,

則BD=2,所以O(shè)B=1,.所以

所以 ,

設(shè)平面BFC的法向量為=(x,y,z),

則有,

取x=1,得

∵平面AFC的法向量為=(0,1,0).

由二面角A﹣FC﹣B是銳角,得|cos<>|==

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值為

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微信控

非微信控

合計

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計

56

44

100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認為“微信控”與”性別“有關(guān)?

(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5 人并從選出的5 人中再隨機抽取3 人贈送200 元的護膚品套裝,記這3 人中“微信控”的人數(shù)為X,試求X 的分布列與數(shù)學期望.

參考公式:,其中n=a+b+c+d.

P(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.323

3.841

5.024

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對服務(wù)好評

對服務(wù)不滿意

合計

對商品好評

對商品不滿意

合計

(1)是否可以在犯錯誤概率不超過的前提下,認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)?

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,其中

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