Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面積；
（Ⅱ）求$\sqrt{3}$sinA+sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值及取得最大值時(shí)角A的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件求得B的值，利用余弦定理求得ac的值，從而求得△ABC的面積$\frac{1}{2}•ac•sinB$的值．
（Ⅱ）利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)$\sqrt{3}$sinA+sin（C-$\frac{π}{6}$）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得$\sqrt{3}$sinA+sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值及取得最大值時(shí)角A的大�。�

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，
所以B=$\frac{π}{3}$．
由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，求得ac=40．
所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}acsinB=10\sqrt{3}$．
（Ⅱ）$\sqrt{3}sinA+sin（{C-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{3}sinA+sin（\frac{π}{2}-A）$=$\sqrt{3}sinA+cosA=2sin（{A+\frac{π}{6}}）$．
又A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴$A+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
從而當(dāng)A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$時(shí)，2sin（A+$\frac{π}{6}$）取最大值2．
綜上所述，$\sqrt{3}sinA+sin（C-\frac{π}{6}）$的最大值為2，此時(shí)A=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，余弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．