Question

已知首項(xiàng)為a（a≠0）的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，，若對(duì)任意的正整數(shù)m、n，都有

Sn

Sm

=(

n

m

)2．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a=1，數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b（b≠1），第n（n∈N^*，n≥2）項(xiàng)b_n是數(shù)列{a_n}的第b_n-1項(xiàng)，求證：數(shù)列|b_n-1|為等比數(shù)列；
（Ⅲ）若對(duì)（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}和{b_n}及任意正整數(shù)n，均有2an+b_n+11≥0成立，求實(shí)數(shù)b的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在

Sn

Sm

=(

n

m

)2中，取m=1，得

Sn

1

=n2，即S_n=n²a，所以a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，由此能求出{a_n}是以a為首項(xiàng)，2a為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由a_n=2n-1，b_n=2b_n-1-1，知b_n-1=2（b_n-1-1），由此能夠證明|b_n-1|都給以b-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由b_n-1=（b-1）•2^n-1，b_n=1+（b-1）•2^n-1，由題意得，不等式不承認(rèn)真即b-1≥-

22n-1+12

2n-1

=-(2n+

24

2n

)恒成立．

解答：解：（Ⅰ）證明：在

Sn

Sm

=(

n

m

)2中，取m=1，得

Sn

1

=n2，即S_n=n²a，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²a，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a也適合上式，
∴a_n=（2n-1）a，n∈N⁺，
∵a_n+1-a_n=2a，
∴{a_n}是以a為首項(xiàng)，2a為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）可得a_n=2n-1，
∴b_n=2b_n-1-1，
即有b_n-1=2（b_n-1-1），
b₁-1=b-1≠0，
∴{b_n-1}是以b-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n-1=（b-1）•2^n-1，
∴b_n=1+（b-1）•2^n-1，
∴由題意得，不等式2^2n-1+（b-1）•2^n-1+12≥0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
即b-1≥-

22n-1+12

2n-1

=-(2n+

24

2n

)恒成立．
設(shè)t=2ⁿ（t=2，4，8，…），則b-1＞-(t+

24

t

)恒成立，
對(duì)于函數(shù)y=x+

24

x

，
y′= 1-

24

x2

=

(x+2 6 )(x-2 6 )

x2

．
當(dāng)x∈(-2

6

，2

6

)時(shí)，y′＜0，當(dāng)x∈(-∞，-2

6

)和（2

6

，+∞）時(shí)，y′＞0，
∴函數(shù)y=x+

24

x

在(-2

6

，2

6

)上單調(diào)減，在(-∞，-2

6

)和（2

6

，+∞）上單調(diào)增．
又當(dāng)x=4時(shí)，y=10；當(dāng)x=8時(shí)，y=11，∴y=t+

24

t

的最小值是10．∴b-1≥[-(2n+

24

2n

)]min=-10．
即b≥-9，
∴實(shí)數(shù)b的最小值是-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．