Question

【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于、的動點(diǎn)，直線、與直線分別相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，試問：外接圓是否恒過軸上的定點(diǎn)（異于點(diǎn)）？若是，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，且定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）利用橢圓的定義可求得的值，再由是等腰直角三角形可求得、的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，求出直線、的斜率之積為，設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)、的方程，假設(shè)的外接圓過軸上的定點(diǎn)，求出的外接圓圓心的坐標(biāo)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值，進(jìn)而可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）因?yàn)?/span>的周長為，由定義可得，，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，且，所以，

所以橢圓的方程為：；

（2）設(shè)，，則，

所以直線與的斜率之積，

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，

直線的方程：，

由，可得，同理，

假設(shè)的外接圓恒過定點(diǎn)，，

由于線段的垂直平分線所在直線的方程為，

線段的垂直平分線所在直線的方程為，則其圓心，

又，所以，解得，

所以的外接圓恒過定點(diǎn).