Question

如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于A、B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求證：EA⊥EC；
（2）設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為F．若EF=1，求二面角D-EC-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，可得BC⊥平面ABE，再利用線面垂直的判定證明AE⊥面BCE，即可證得結(jié)論；
（2）以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的正切值．

解答： （1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB為直徑的半圓上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE?面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE?面BCE，∴EA⊥EC
（2）
以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，1），E（

3

2

，

3

2

，0），
B（0，2，0），C（0，2，1），
有（1）知，

AE

=（

3

2

，

3

2

，0）是平面BEC的一個(gè)法向量，
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面DEC的一個(gè)法向量
則由

n ⊥ DC n ⊥ DE

得

2y=0 3 2 x+ 3 2 y-z=0

取

n

=（2，0，

3

）
可得：cos＜

n

，

AE

＞=

n • AE

| n |•| AE |

=

3 +0+0

7 × 3

=

1

7

因?yàn)镈-EC-B的二面角大小為鈍角，故其正切值為-

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線線垂直，考查二面角正切值的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．