Question

已知不等式|1－kxy|＞|kx－y|.

（1）當k=1，y=2時，解關于x的不等式|1－kxy|＞|kx－y|;

（2）若不等式|1－kxy|＞|kx－y|對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數(shù)x,y恒成立，求實數(shù)k的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

 

(1)  x∈(－∞,－1) ∩(1,+ ∞).

(2)  k∈[－1,1]

【解析】（1）當k=1,y=2時，不等式|1－kxy|＞|kx－y|即為|1－2x|＞|x－2|.

所以1－4x+4x2＞x2－4x+4x2＞1,所以x∈(－∞,－1) ∩(1,+ ∞).        (5分)

（2）由已知得|1－kxy|＞|kx－y||1－kxy|2＞|kx－y|21+k2x2y2＞k2x2+y2,

即（k2x2－1）(y2－1) ＞0對任意滿足|x|＜1,|y|＜1的實數(shù)x,y恒成立.         

而y2＜1,所以y2－1＜0,故（k2x2－1）(y2－1) ＞0k2x2－1＜0.

于是命題轉化為k2x2－1＜0對任意滿足|x|＜1的實數(shù)x恒成立.　 （8分） 

當x=0時，易得k∈R;

當x≠0時，有k2＜對任意滿足|x|＜1，x≠0的實數(shù)x恒成立.

由0＜|x|＜10＜x2＜1∈(1,+ ∞),所以k2≤1.

綜合以上得k∈[－1,1]即為所求的取值范圍.