Question

已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項，若能找到，求出該點的坐標(biāo)，若不能找到，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：過點M作左準(zhǔn)線的垂線MA交左準(zhǔn)線于A，由M點到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項知2|MA|=|MF₁|+|MF₂|，此結(jié)合題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出|MA|=2，從而導(dǎo)出M點的坐標(biāo)．
解答：解：在橢圓位于y軸左側(cè)的部分上有一點M，它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項．
過點M作左準(zhǔn)線的垂線MA交左準(zhǔn)線于A，則2|MA|=|MF₁|+|MF₂|．
∵，
∴2|MF₁|=|MA|+2-|MF₁|，
∴3|MF₁|=|MA|+2，
∴，
∴
∴|MA|=2．
∵點A在左準(zhǔn)線x=-4上，
∴M點的橫坐標(biāo)x=-4+2=-2．
把x=-2代入橢圓得y=0，∴M（-2，0）．
故存在點M，其坐標(biāo)是M（-2，0）．
點評：本題考查橢圓的基礎(chǔ)知識，解題時注意挖掘隱含條件．