已知定點(diǎn)A(0，a)(a＞0)，直線(xiàn)l1：y＝－a交y軸于點(diǎn)B，記過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l1相切的圓的圓心為點(diǎn)C．

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(Ⅱ)設(shè)傾斜角為α的直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)A，交軌跡E于兩點(diǎn)P、Q，交直線(xiàn)l1于點(diǎn)R．

(1)若tanα＝1，且ΔPQB的面積為，求a的值；

(2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)連CA，過(guò)C作CD⊥l1，垂足為D，由已知可得|CA|＝|CD|，

　　∴點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

　　∴軌跡E的方程為x2＝4ay　　(4分)

　　(Ⅱ)直線(xiàn)l2的方程為y＝kx＋a，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y得x2－4akx－4a2＝0．

　　記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　則x1＋x2＝4ak，x1x2a2＜0　　(6分)

　　(1)若tanα＝1，即k＝1，此時(shí)x1＋x2＝4a，x1x2＝－4a2．

　　∴SΔBPQ＝SΔABP＋SΔABQ＝a|x1|＋a|x2|＝a|x2－x1|

　�。�a＝a＝a＝4a2　　(8分)

　　∴4a2＝，注意到a＞0，∴a＝　　(9分)

　　(2)因?yàn)橹本�(xiàn)PA的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，－a)　　(10分)

　　|PR|·|QR|＝·＝(x1＋，y1＋a)·(x2＋，y2＋a)

　�。�(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2a)(kx2＋2a)

　�。�(1＋k2)x1x2＋(＋2ak)(x1＋x2)＋＋4a2

　　＝－4a2(1＋k2)＋4ak(＋2ak)＋＋4a2＝4a2(k2＋)＋8a2≥8a2＋8a2＝16a2

　　又α∈[，]，∴k∈[，1]，

　　當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝1時(shí)取到等號(hào)　　(12分)

　　從而|PR|·|QR|的最小值為16a2　　(14分)


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3
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3
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（2）若曲線(xiàn)Q：x2-2ax+y2+a2=
1
4
被軌跡E包圍著，求實(shí)數(shù)a的最小值；
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(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)若存在過(guò)點(diǎn)(0，－1)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)l與點(diǎn)C的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E、F，且|AE|＝|AF|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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