Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，已知（2a+b）cosC+ccosB=0．
（1）求∠C的大�。�
（2）若c=4，求使△ABC面積得最大值時a，b的值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）直接利用正弦定理化簡已知條件，得到C的余弦函數(shù)值，然后求∠C的大��；
（2）通過余弦定理以及基本不等式求出ab的最大值，然后求出面積的最大值．即可求解a，b的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，（2a+b）cosC+ccosB=0，
由正弦定理可得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
即2sinAcosC+sin（B+C）=0，∵sinA=sin（B+C）≠0
∴2cosC=-1，∴C=120°．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC，∴16=a²+b²+ab≥3ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立．
∴ab≤

16

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

4 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

4 3

3

時取等號．
△ABC面積得最大值時a=b=

4 3

3

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積的求法，考查計算能力．