Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP=MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡的長度為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先找符合條件的特殊位置，然后根據(jù)符號條件的軌跡為線段PC的垂直平分面與平面AC的交線得到M的軌跡，再由勾股定理求得答案．

解答 解：根據(jù)題意可知PD=DC，則點(diǎn)D符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP=MC”
設(shè)AB的中點(diǎn)為E，根據(jù)題目條件可知△PAE≌△CBE，
∴PE=CE，點(diǎn)E也符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP=MC”
故動點(diǎn)M的軌跡肯定過點(diǎn)D和點(diǎn)E，
而到點(diǎn)P與到點(diǎn)C的距離相等的點(diǎn)為線段PC的垂直平分面，
線段PC的垂直平分面與平面AC的交線是一直線，∴M的軌跡為線段DE．
∵AD=2，AE=1，∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及公理二等有關(guān)知識，同時考查了空間想象能力，推理能力，是中檔題．