【題目】如圖，E是矩形ABCD中AD邊上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，AB=AE= AD=4，現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置，并使平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE⊥平面PEF．

（1）求 的比值；
（2）求二面角E﹣PB﹣C的余弦值．

【答案】
（1）解：以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，過D作平面BCDE的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

P（4，2，2 ），B（6，4，0），E（2，0，0），設(shè)F（0，t，0），

=（2，2，﹣2 ）， =（﹣2，﹣2，﹣2 ）， =（﹣4，t﹣2，﹣2 ），

設(shè)平面PBE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

設(shè)平面PEF的法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=2，得 =（t，2，﹣ ），

∵平面PBE⊥平面PEF，

∴ =t﹣2=0，解得t=2．

∴DF=2，F(xiàn)C=4﹣2=2，

∴ =1．


（2）解：C（0，4，0）， =（2，2，﹣2 ）， =（﹣4，2，﹣2 ），

設(shè)平面PBC的法向量 =（x1，y1，z1），

則 ，取y= ，得 =（0， ，1），

由（1）得平面PBE的法向量 =（1，﹣1，0），

cos＜ ＞= = =﹣ ，

由圖形得二面角E﹣PB﹣C的平面角為銳角，

∴二面角E﹣PB﹣C的余弦值為 ．


【解析】（1）以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，過D作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出 的比值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PBE的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PB﹣C的余弦值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，經(jīng)過村莊A有兩條互相垂直的筆直公路AB和AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路圍成的直角區(qū)域內(nèi)建一工廠P，為了倉庫存儲(chǔ)和運(yùn)輸方便，在兩條公路上分別建兩個(gè)倉庫M，N（異于村莊A，將工廠P及倉庫M，N近似看成點(diǎn)，且M，N分別在射線AB，AC上），要求MN=2，PN=1（單位：km），PN⊥MN．
（1）設(shè)∠AMN=θ，將工廠與村莊的距離PA表示為θ的函數(shù)，記為l（θ），并寫出函數(shù)l（θ）的定義域；
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，l（θ）有最大值？并求出該最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（2）若l過點(diǎn)（ ，m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的長(zhǎng)方體中，AB=2 ，AD= ， = ，E、F分別為 的中點(diǎn)，則異面直線DE、BF所成角的大小為（ ）

A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知﹣1，a1 ， a2 ， 8成等差數(shù)列，﹣1，b1 ， b2 ， b3 ， ﹣4成等比數(shù)列，那么 的值為（ ）
A.﹣5
B.5
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0，x∈R），命題q：﹣x2+5x﹣6≥0，x∈R．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)，對(duì)于任意的x，y∈（﹣1，1）有f（x）+f（y）=f（ ），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（2）若f（﹣ ）=1，求方程f（x）+ =0的解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函數(shù)．
（1）求m；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=﹣mx+n無公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

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