【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn , a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正,其前n項(xiàng)和為Tn , 且T3=15,又a1+b1 , a2+b2 , a3+b3成等比數(shù)列,求Tn .
【答案】
(1)解:因?yàn)閍n+1=2Sn+1,…①
所以an=2Sn﹣1+1(n≥2),…②
所以①②兩式相減得an+1﹣an=2an,即an+1=3an(n≥2)
又因?yàn)閍2=2S1+1=3,
所以a2=3a1,
故{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列
∴an=3n﹣1.
(2)解:設(shè){bn}的公差為d,由T3=15得,可得b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故可設(shè)b1=5﹣d,b3=5+d,
又因?yàn)閍1=1,a2=3,a3=9,并且a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,
所以可得(5﹣d+1)(5+d+9)=(5+3)2,
解得d1=2,d2=﹣10
∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正,
∴d>0,
∴d=2,
∴ .
【解析】(1)由題意可得:an=2Sn﹣1+1(n≥2),所以an+1﹣an=2an , 即an+1=3an(n≥2),又因?yàn)閍2=3a1 , 故{an}是等比數(shù)列,進(jìn)而得到答案.(2)根據(jù)題意可得b2=5,故可設(shè)b1=5﹣d,b3=5+d,所以結(jié)合題意可得(5﹣d+1)(5+d+9)=(5+3)2 , 進(jìn)而求出公差得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn .
【考點(diǎn)精析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知前n項(xiàng)和公式:;通項(xiàng)公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是( )
A. 至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B. 至少有一個(gè)黑球與都是紅球
C. 至少有一個(gè)黑球與至少有個(gè)紅球 D. 恰有個(gè)黑球與恰有個(gè)黑球
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD,公園由長(zhǎng)方形的休閑區(qū)A1B1C1D1(陰影部分)和環(huán)公園人行道組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,人行道的寬分別為4米和10米.
(1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)A1B1=x米,求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式;
(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,l1,l2是通過(guò)某城市開(kāi)發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道,連結(jié)M、N兩地之間的鐵路線是圓心在l2上的一段圓弧.若點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向,且|MO|=3 km,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為4 km和5 km.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路線所在圓弧的方程;
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問(wèn)題,要求校址到點(diǎn)O的距離大于4 km,并且鐵路線上任意一點(diǎn)到校址的距離不能少于km,求該校址距點(diǎn)O的最近距離.(注:校址視為一個(gè)點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上.
(1)求證:平面AEC⊥平面PDB;
(2)當(dāng)PD=AB,且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若直線l1:y=x+a和直線l2:y=x+b將圓(x﹣1)2+(y﹣2)2=8分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)M=( ﹣1)( ﹣1)( ﹣1)滿足a+b+c=1(其中a>0,b>0,c>0),則M的取值范圍是( )
A.[0, )
B.[ ,1)
C.[1,8)
D.[8,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將圓為參數(shù))上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,得到曲線
(1)求出的普通方程;
(2)設(shè)直線: 與的交點(diǎn)為, ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過(guò)線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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