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已知雙曲線焦點在x軸上、中心在坐標原點O，左、右焦點分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點，且|
F1F2
|=
4
3
|
F2P
|，∠F1F2P=90°．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若過F1且斜率為1的直線l與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點，△AOB的面積為8
3
，求雙曲線的方程．
分析：（Ⅰ）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，(a＞0，b＞0)，|
F1F2
|=2c，由|
F1F2
|=
4
3
|
F2P
|，∠F1F2P=90°及勾股定理得|
F1P
|=
5
2
c，由此能求出雙曲線的離心率．
（Ⅱ）由e2=1+
b2
a2
=4，知
b2
a2
=3，雙曲線的兩漸近線方程為y=±
3
x．設l的方程為y=x+c，l與y軸的交點為M（0，c）．若l與y=
3
x交于點A，l與y=-
3
x交于點B，由
y=x+c
y=
3x
，得A(
c
3
-1
，
3
c
3
-1
)；由
y=x+c
y=-
3
x
，得B(
-c
3
+1
，
3
c
3
+1
)，再由S△AOB=
1
2
•|OM|•|xA-xB|=
3
2
c2=8
3
，能求出雙曲線方程．
解答：解：（Ⅰ）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，(a＞0，b＞0)，|
F1F2
|=2c，
由|
F1F2
|=
4
3
|
F2P
|，∠F1F2P=90°及勾股定理得|
F1P
|=
5
2
c，
由雙曲線定義得 2a=|
PF1
|-|
PF2
|=
5
2
c-
3
2
c=c．
則e=
c
a
=2．
（Ⅱ）∵e2=1+
b2
a2
=4，∴
b2
a2
=3，雙曲線的兩漸近線方程為y=±
3
x．
由題意，設l的方程為y=x+c，l與y軸的交點為M（0，c）．
若l與y=
3
x交于點A，l與y=-
3
x交于點B，
由
y=x+c
y=
3x
，得A(
c
3
-1
，
3
c
3
-1
)；由
y=x+c
y=-
3
x
，得B(
-c
3
+1
，
3
c
3
+1
)，
S△AOB=
1
2
•|OM|•|xA-xB|
=
1
2
•c•|
c
3
-1
-
-c
3
+1
|
=
3
2
c2=8
3
，
∴c=4，
∴a=2，則b=2
3
，
故雙曲線方程為
x2
4
-
y2
12
=1．
點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用雙曲線的性質，合理地進行等價轉化．
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已知一焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的實軸等于虛軸，且圖象經過點
2，
3
．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，求實數k的值．

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（Ⅱ）若過F1且斜率為1的直線l與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點，△AOB的面積為數學公式，求雙曲線的方程．

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（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若過F1且斜率為1的直線l與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點，△AOB的面積為，求雙曲線的方程．

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