Question

如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖．已知為直徑，且km,為圓心，為圓周上靠近 的一點(diǎn)，為圓周上靠近 的一點(diǎn)，且∥．現(xiàn)在準(zhǔn)備從經(jīng)過到建造一條觀光路線，其中到是圓弧，到是線段.設(shè)，觀光路線總長為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

（2）求觀光路線總長的最大值.

Answer 1

（1） ，（2）

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)應(yīng)用題，必須明確題意：觀光路線總長為圓弧與線段之和，由弧長公式得，由直角三角形得，所以，根據(jù)實(shí)際意義得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806024772836448/SYS201506180602509315940398_DA/SYS201506180602509315940398_DA.008.png">

（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值：先求導(dǎo)數(shù)，再求零點(diǎn)，列表分析函數(shù)變換趨勢得函數(shù)在處取得極大值，這個(gè)極大值就是最大值，即.

試題解析：（1）由題意知，， 2分

， 5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806024772836448/SYS201506180602509315940398_DA/SYS201506180602509315940398_DA.014.png">為圓周上靠近的一點(diǎn)，為圓周上靠近的一點(diǎn)，且，

所以

所以 ， 7分

（2）記,則， 9分

令，得， 11分

列表

x	（0，）		（，）
	＋	0	－
f （x）	遞增	極大值	遞減

所以函數(shù)在處取得極大值，這個(gè)極大值就是最大值， 13分

即，

答：觀光路線總長的最大值為千米． 14分

考點(diǎn)：函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值