Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）為偶函數(shù)，它的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，-1），且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）總成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，求出b和d的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）求出e，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上建立一等式關(guān)系，解方程組即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）總成立，分離參數(shù)可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

的最大值即可，利用換元法和基本不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+cx²+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax⁴+cx²+e．
又由圖象過(guò)點(diǎn)A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax³+2cx，由題意知函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，0）的切線斜率為-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1．
（2）由f（x）≤t（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0，
可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立．
令g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

，設(shè)x²+1=m，則m≥1，
∴g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2m2+7m-6

m

=7-2(m+

3

m

)≤7-4

m• 3 m

=7-4

3

（當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

時(shí)，“=”號(hào)成立）．
∴g（x）的最大值為7-4

3

，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[7-4

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題注意考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及分離參數(shù)的方法解決函數(shù)恒成立的問(wèn)題，在解題時(shí)注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用和基本不等式求最值應(yīng)注意的問(wèn)題，考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．