Question

3．已知M（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是C上的兩個焦點，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$＜0，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
• C． （-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 由橢圓方程求得焦點坐標，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合橢圓的方程，即可求出x₀的取值范圍．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，的焦點坐標F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）
則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=x₀²-3+y₀²=$\frac{3{x}_{0}^{2}}{4}$-2，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$＜0，
∴$\frac{3{x}_{0}^{2}}{4}$-2＜0，
解得：-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故答案選：C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積公式、橢圓的方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．