Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M是AB的中點，則直線DB₁與MC所成角的余弦值為（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{15}}{15}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{15}$
• C． $\frac{2\sqrt{15}}{15}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出DB₁與CN所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則M（2，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{{DB}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{CM}$=（2，-1，0），
設DB₁與CM所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{DB}_{1}}•\overrightarrow{CM}|}{\left|\overrightarrow{{DB}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{CM}\right|}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴DB₁與CM所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
故選：B

點評 本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．