Question

已知向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），其中x∈[

π

2

，π]．
（1）若|

a

-

b

|=2，求x的值；
（2）設函數(shù)f（x）=

a

•

b

，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,平面向量及應用

分析：（1）由向量的平方即為模的平方，結合兩角差的正弦公式，即可得到x；
（2）運用向量的數(shù)量積的坐標公式和二倍角公式、兩角差的正弦公式，再由正弦函數(shù)的值域即可得到所求的最值．

解答： 解：（1）因為向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），
所以

a

-

b

=（

3

sinx-cosx，0），
即|

a

-

b

|²=（

3

sinx-cosx）²=4，
所以

3

sinx-cosx=±2，
即sin(x-

π

6

)=±1，
因為x∈[

π

2

，π]，所以x=

2π

3

；
（2）因為f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
由于x∈[

π

2

，π]，
則2x-

π

6

∈[

5π

6

，

11π

6

]，
所以當2x-

π

6

=

5π

6

即x=

π

2

時，[f（x）]_max=1，
當2x-

π

6

=

3π

2

即x=

5π

6

時，[f(x)]min=-

1

2

．
所以f（x）的值域為[-

1

2

，1]．

點評：本題考查平面向量的運用，考查向量的數(shù)量積的坐標公式和性質(zhì)，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．