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【題目】已知半徑為的球面上有兩點，且，球心為，若是球面上的動點，且二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為______.

【答案】

【解析】

設所在截面圓的圓心為，中點為，連接，易知，，從而可知即為二面角的平面角，，進而可求出，，，由到三點的距離相等，可知四面體外接球的球心在射線上，設四面體外接球半徑為，在中，由勾股定理，可得，可求出，進而求出外接球的表面積.

設所在截面圓的圓心為，中點為，連接，

則，所以，同理，所以即為二面角的平面角，.

因為，，所以是等腰直角三角形，所以.

在中，由，得，由勾股定理，得.

因為到三點的距離相等，所以四面體外接球的球心在射線上.

設四面體外接球半徑為，在中，，，，由勾股定理，可得，即，解得，所以.

故答案為：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對100名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100的有40人；在45名女性駕駛員中，平均車速不超過100的有25人.

（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100的人與性別有關.

平均車速超過100人數

平均車速不超過100人數

合計

男性駕駛員人數

女性駕駛員人數

合計

（2）以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望.

參考公式與數據：，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在點處的切線方程．

（2）若對任意的恒成立，求的值．

（3）在（2）的條件下，記，證明：存在唯一的極大值點，且．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，拋物線上的點到準線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點，與拋物線交于，兩點，，分別為弦，的中點，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點，求的面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本�！痹谥腥A民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據市場調研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數據統(tǒng)計如下：

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據下列表格中的數據，比較當時模型①、②的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫回歸效果的相關指數，.）

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大��；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率大幅提高，服從正態(tài)分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過但不超過，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過，每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數學期望.

（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，拋物線上的點到準線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點，與拋物線交于，兩點，，分別為弦，的中點，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分．為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調查．

（1）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如表是根據調查結果得到的列聯表．請將列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；

（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機抽取4人，設這4人中選擇“地理”的人數為，求的分布列及數學期望．

選擇“物理”

選擇“地理”

總計

男生

10

女生

25

總計

附參考公式及數據：，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是棱的中點.

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點，求三棱錐的體積與三棱柱的體積之比.

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