8.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線并且過橢圓的右焦點,記橢圓的離心率為e.
(1)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(1)若直線l的傾斜角為$\frac{π}{6}$,求e的大;
(2)是否存在這樣的e,使得原點O關于直線l對稱的點恰好在橢圓C上,若存在,請求出e的大小;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由題意可知,右焦點在圓上或在圓的外部,因此c≥b.即c2≥b2=a2-c2,解出即可得出.
(2)依題意,設直線l:$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}({x-c})$,由l與圓x2+y2=b2相切得$\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}|}}{{\sqrt{1+{{({\frac{{\sqrt{3}}}{3}})}^2}}}}=b$,化簡即可得出.
(3)設原點關于直線l對稱的點為M(x,y),則M到原點的距離為2b,M到焦點F(c,0)的距離為c.由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={{({2b})}^2}}\\{{{({x-c})}^2}+{y^2}={c^2}}\end{array}}\right.$,解出代入橢圓方程解出離心率,比較即可判斷出結(jié)論.

解答 解:(1)由題意可知,右焦點在圓上或在圓的外部,因此c≥b.
∴c2≥b2=a2-c2,也即$\frac{c^2}{a^2}≥\frac{1}{2}$,解之可得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤e<1$.
∴橢圓的離心率e的取值范圍是$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2},1})$.
(2)依題意,設直線l:$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}({x-c})$,由l與圓x2+y2=b2相切得$\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}|}}{{\sqrt{1+{{({\frac{{\sqrt{3}}}{3}})}^2}}}}=b$,即c2=4b2,
∴c2=4(a2-c2),解得$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$.
(3)設原點關于直線l對稱的點為M(x,y),則M到原點的距離為2b,M到焦點F(c,0)的距離為c.
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={{({2b})}^2}}\\{{{({x-c})}^2}+{y^2}={c^2}}\end{array}}\right.$,
解得$\left\{{\begin{array}{l}{x={{\frac{2b}{c}}^2}}\\{{y^2}=\frac{{4{b^2}{c^2}-4{b^4}}}{c^2}}\end{array}}\right.$,代入橢圓方程可得4b2=3a2,易得$e=\frac{1}{2}$
這與$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤e<1$矛盾,故離心率不存在.

點評 本題考查了橢圓底邊在方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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