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定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足①對任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②當x∈(－1,0)時，有f(x)>0.

求證:.

證明略


解析:

對f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,

再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),

∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函數.

設－1＜x1＜x2＜0,則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(),

∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0  ∴＜0,

于是由②知f()?>0,

從而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

故f(x)在x∈(－1,0)上是單調遞減函數.

根據奇函數的圖像關于原點對稱，知

f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數，且f(x)＜0.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，當x∈[-1，0]時，函數解析式是f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表達式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，當x∈[-1，0]時，函數解析式是f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表達式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

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科目：高中數學 來源：專項題 題型：解答題

已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時，，
(Ⅰ)用定義證明：f(x)在[-1，1]上是增函數；
(Ⅱ)解不等式：；
(Ⅲ)若f(x)≤t2-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年安徽省宣城市涇縣中學高一（上）12月段考數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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