Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

，(a＞0且a≠1)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域．
（2）判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系．
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)a^x＞0，可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，再根據(jù) a^x=

1+y

1-y

＞0，求得y的范圍，可得函數(shù)的值域．
（2）化簡(jiǎn)f（-x） 的解析式，可得它與-f（x）的關(guān)系．
（3）根據(jù) f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，再分當(dāng)a＞1時(shí) 和當(dāng)0＜a＜1時(shí) 兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)

2

ax+1

的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

，(a＞0且a≠1)，a^x＞0，∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，
再根據(jù) a^x=

1+y

1-y

＞0，求得-1＜y＜1，故函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）．
（2）f（-x）=f(x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x）．
（3）∵f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
當(dāng)a＞1時(shí)，由于函數(shù)

2

ax+1

是減函數(shù)，故f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由于函數(shù)

2

ax+1

是增函數(shù)，故f（x）為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．