Question

【題目】已知一個(gè)放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①液面剛好同時(shí)經(jīng)過，，三點(diǎn)；

②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí)，液面與水平桌面的距離為；

③當(dāng)液面與水平桌面的距離為時(shí)，與液面所成角的正弦值為.

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

①若液面剛好同時(shí)經(jīng)過,,三點(diǎn),則液體的體積為四棱錐,進(jìn)而求解即可；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí),即為圖2的位置,畫出圖形,可先求得液面上方的三棱柱以四邊形為底面的高,再與直三棱柱以四邊形為底面的高求差即可；③由①可得此時(shí)液面與水平桌面的距離為,畫出圖形,即可求解.

①若液面剛好同時(shí)經(jīng)過,,三點(diǎn),則液體的體積為四棱錐,

因?yàn)?/span>,所以①正確；

②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí),即為圖2的位置,設(shè)液面與直三棱柱的交點(diǎn)為,如圖所示,

因?yàn)橹比�棱�?/span>的體積為,

所以直棱柱的體積為,

所以,即,則在中邊上的高為,

因?yàn)樵?/span>中邊上的高為,所以液面與水平桌面的距離為,所以②正確；

③當(dāng)液面剛好同時(shí)經(jīng)過,,三點(diǎn)時(shí),如圖所示,

此時(shí),則,

易得,則中邊上的高為,

所以,

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,即,

即液面與水平桌面的距離為,

由棱柱的對稱性可得點(diǎn)到平面的距離為,設(shè)與液面所成角為,

則,所以③正確,

所以①②③正確,

故選:D