Question

17．如圖所示，在△ABC的邊AB、AC上分別有點M、N，且AB=3AM，AC=4AN，BN與CM的交點是O，直線AO與BC交于點D．設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow m$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow n$．
（Ⅰ）用$\overrightarrow m$、$\overrightarrow n$表示$\overrightarrow{AO}$；
（Ⅱ）設$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AN}$=3x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1-x}{4}$$\overrightarrow{AC}$，由C，O，M三點共線，由共線定理可知：3x+$\frac{1-x}{4}$=1，求得x的值，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{8}{11}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{m}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{n}$；
（Ⅱ）由（1）可知$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$=$\frac{3λ}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{11}$$\overrightarrow{AC}$，B，C，D三點共線，$\frac{3λ}{11}$+$\frac{2λ}{11}$=1，即可求得求λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：設$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AN}$，
AB=3AM，AC=4AN，
$\overrightarrow{AO}$=3x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1-x}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
由C，O，M三點共線，
∴3x+$\frac{1-x}{4}$=1，
∴x=$\frac{3}{11}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{8}{11}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{m}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{n}$，
（Ⅱ）由（1）可知：$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$=$\frac{3λ}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{11}$$\overrightarrow{AC}$，
∵B，C，D三點共線，
$\frac{3λ}{11}$+$\frac{2λ}{11}$=1，解得：λ=$\frac{11}{5}$，
λ的值$\frac{11}{5}$．

點評 本題考查向量共線定理，考查向量的運算，考查數形結合思想，屬于中檔題．