Question

（本小題滿分12分）已知在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線的參數(shù)方程為
（t為非零常數(shù)，為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線C有兩個不同的公共點、，且
（其中o為坐標(biāo)原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由

Answer 1

（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．
①當(dāng)時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓； 
②當(dāng)時，曲線C為中心在原點的橢圓．
（Ⅱ）不存在滿足題意的實數(shù)． 

(I)先把方程化成,然后再根據(jù)t²與1的關(guān)系進行討論.
（II）先求出直線l的普通方程為,然后再與曲線C的方程聯(lián)立消y得關(guān)于x的一元二次方程，由于,所以再借助韋達定理及判斷式來解此題.
解：（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．
①當(dāng)時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓； 
②當(dāng)時，曲線C為中心在原點的橢圓．………………5分
（Ⅱ）直線的普通方程為：．聯(lián)立直線與曲線的方程，消得，
化簡得．若直線與曲線C有兩個不同的公共點，
，
解得．又 
故．
解得與相矛盾． 故不存在滿足題意的實數(shù)． ………………12分