Question

8．等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=|10+2log₃a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比為q（q＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比為$\frac{1}{3}$，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=|10+2log₃a_n|=|10+2log₃3^-n|=|10-2n|，討論當(dāng)1≤n≤5時(shí)，當(dāng)n＞5時(shí)，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比為q（q＞0），
由2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，可得：
2a₁+3qa₁=1，（a₁q²）²=9a₁²q⁶，
解得a₁=q=$\frac{1}{3}$，
可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（Ⅱ）b_n=|10+2log₃a_n|=|10+2log₃3^-n|=|10-2n|，
當(dāng)1≤n≤5時(shí)，b_n=10-2n，
前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（8+10-2n）n=9n-n²；
當(dāng)n＞5時(shí)，前n項(xiàng)和S_n=8+6+4+2+0+2+4+6+…+2n-10
=20+$\frac{1}{2}$（2+2n-10）（n-5）=n²-9n+40．
綜上可得，前n項(xiàng)和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，1≤n≤5，n∈N}\\{{n}^{2}-9n+40，n＞5，n∈N}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，以及等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．