如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(Ⅰ)求異面直線AD1與BD所成的角的余弦值;
(Ⅱ)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
考點:直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角
專題:計算題,空間角
分析:(Ⅰ)建立空間直角坐標系,先求出AB,可得
BD
=(-
3
,3,0)
,而
AD1
=(0,3,3)
,利用向量的夾角公式,即可求異面直線AD1與BD所成的角的余弦值;
(Ⅱ)求出平面ACD1的一個法向量,利用向量的夾角公式,求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
解答: 解:(Ⅰ)由題意,AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.
設AB=t,則相關各點的坐標為:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).
從而
B1D
=(-t,3,-3),
AC
=(t,1,0),
BD
=(-t,3,0).
因為AC⊥BD,所以
AC
BD
=-t2+3+0=0.
解得t=
3
或t=-
3
(舍去).
所以
BD
=(-
3
,3,0)
,而
AD1
=(0,3,3)
,
所以cos?
BD
AD1
>=
BD
AD1
|
BD
|•|
AD1
|
=
9
2
3
×3
2
=
6
4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
AD1
=(0,3,3),
AC
=(
3
,1,0),
B1C1
=(0,1,0).
n
=(x,y,z)是平面ACD1的一個法向量,則
3
x+y=0
3y+3z=0

令x=1,則
n
=(1,-
3
3
).
設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ,則
sinθ=|cos<
n
,
B1C1
>|=
3
7
=
21
7

即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為
21
7
點評:本題給出直四棱柱,求異面直線、直線與平面所成角的正弦之值,著重考查了直四棱柱的性質、空間向量等知識,屬于中檔題.
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1
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1
T3
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1
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2013
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1
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9

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