Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時，解關(guān)于x的不等式-3＜f（x）＜5；
（2）對于給定的正數(shù)a，有一個最大的正數(shù)M（a），使得在整個區(qū)間[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；
（3）函數(shù)y=f（x）在[t，t+2]的最大值為0，最小值是-4，求實數(shù)a和t的值．

Answer 1

分析 （1）a=2時，把不等式-3＜f（x）＜5化為不等式組-3＜x²-4x＜5，求出解集即可；
（2）由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，討論a＞0時|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立時，M（a）最大，此時對應(yīng)的方程f（x）=±5根的情況，從而求出M（a）的解析式；
（3）f（x）=（x-a）²-a²（t≤x≤t+2），顯然f（0）=f（2a）=0，分類討論，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值為0，最小值是-4，求實數(shù)a和t的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=x²-4x，
∴不等式-3＜f（x）＜5可化為-3＜x²-4x＜5，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1或x＞3}\\{-1＜x＜5}\end{array}\right.$，
∴不等式的解集為（-1，1）∪（3，5）；
（2）∵a＞0時，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
∴當(dāng)-a²＜-5，即a＞$\sqrt{5}$時，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=-5的較小的根，
即M（a）=a-$\sqrt{{a}^{2}-5}$；
當(dāng)-a²≥-5，即0＜a≤$\sqrt{5}$時，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=5的較大的根，
即M（a）=a+$\sqrt{{a}^{2}+5}$；
綜上，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\sqrt{{a}^{2}-5}，a＞\sqrt{5}}\\{a+\sqrt{{a}^{2}+5}，0＜a≤\sqrt{5}}\end{array}\right.$．
（3）f（x）=（x-a）²-a²（t≤x≤t+2），顯然f（0）=f（2a）=0．
①若t=0，則a≥t+1，且f（x）_min=f（a）=-4，或f（x）_min=f（2）=-4，
當(dāng)f（a）=-a²=-4時，a=±2，a=-2不合題意，舍去
當(dāng)f（2）=4-4a=-4時，a=2，
②若t+2=2a，則a≤t+1，且f（x）_min=f（a）=-4，或f（x）_min=f（2a-2）=-4，
當(dāng)f（a）=-a²=-4時，a=±2，若a=2，t=2，符合題意；
若a=-2，則與題設(shè)矛盾，不合題意，舍去
當(dāng)f（2a-2）=-4時，a=2，t=2
綜上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合題意．

點評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是較難理解的題目．