Question

12．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，F(xiàn)（x）=2e^x-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3
（1）設(shè)T（x）=F（x）-f（x），當(dāng)a=1+2e^-1時，求證：T（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若?x≥1，F(xiàn)（x）≥f（x），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，證明T′（x）＞0，即可證明結(jié)論；
（2）若?x≥1，F(xiàn)（x）≥f（x），則2e^x-1+x+lnx≥a（x-1）+3，求出左邊的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：當(dāng)a=1+2e^-1時，T（x）=F（x）-f（x）=2e^x-1+x+lnx-（1+2e^-1）（x-1）-3
T′（x）=2e^x-1+1+$\frac{1}{x}$-（1+2e^-1））=2e^x-1+$\frac{1}{x}$-2e^-1，
∵x＞0，∴T′（x）＞0，
∴T（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）解：若?x≥1，F(xiàn)（x）≥f（x），則2e^x-1+x+lnx≥a（x-1）+3
令y=2e^x-1+x+lnx，則y′=2e^x-1+1+$\frac{1}{x}$，
∵x≥1，∴y′=2e^x-1+1+$\frac{1}{x}$＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴y≥3，
∴?x≥1，3≥a（x-1）+3
∴a（x-1）≤0
∵x≥1，∴a≤0．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．