Question

（本題滿(mǎn)分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)變換到這一平面上的一點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2） 若曲線(xiàn)上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱(chēng)點(diǎn)是曲線(xiàn)在變換下的不動(dòng)點(diǎn). 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線(xiàn)在變換下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①. 又由條件得…②，故由①、②可解得，. 即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和. 對(duì)于變換：，當(dāng)時(shí)，可得 設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為； 又即的坐標(biāo)為. （2）設(shè)是橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)， 有，由點(diǎn)，即，得：

       ，因而橢圓的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.

（3）由（2）可知，曲線(xiàn)在變換下的不動(dòng)點(diǎn)需滿(mǎn)足.

情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（），

則有.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111474096873159/SYS201205211149375781760040_DA.files/image038.png">，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)必定存在，且一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

情形二：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為（），

則有,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111474096873159/SYS201205211149375781760040_DA.files/image041.png">，故當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；[來(lái)源:學(xué)�？啤＞W(wǎng)Z。X。X。K]

當(dāng)時(shí)，故要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).

進(jìn)一步分類(lèi)可知，

(i) 當(dāng)，時(shí)，.

即雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，需滿(mǎn)足時(shí)，雙曲線(xiàn)在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).

(ii) 當(dāng)，時(shí)，.

即雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，需滿(mǎn)足時(shí)，雙曲線(xiàn)在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).