Question

16．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為-9＜m＜0．

Answer 1

分析 由方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上兩個(gè)解轉(zhuǎn)化為m=f（x）-x²=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在（0，+∞）上兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和取值范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上兩個(gè)解，
∴等價(jià)為m=f（x）-x²=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在（0，+∞）上兩個(gè)解，
設(shè)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
則h′（x）=x²-2x-3，
由h′（x）＞0得x＞3或x＜-1（舍），
由h′（x）＜0得-1＜x＜3，即0＜x＜3，
即當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得極小值h（3）=9-9-9=-9，
∵h(yuǎn)（0）=0，
∴要使m=h（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)解，
則-9＜m＜0；
故答案為：-9＜m＜0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．