平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足OC=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1，

（1）求點C的軌跡方程；

（2）設(shè)點C的軌跡與雙曲線=1（a＞0,b＞0）交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值.

（1）解析：設(shè)C（x，y），因為=α+β，

則（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）

∴∵α-2β=1,∴x+y=1.

即點C的軌跡方程為x+y=1.

（2）證明：由得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0.

由題意,得b2-a2≠0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）,

則：x1+x2=,

x1x2=-.

因為以MN為直徑的圓過原點，=0，

即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)

=1-(x1+x2)+2x1x2

=1+=0,

即b2-a2-2a2b2=0,∴=2為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A（3，1）、B（-1，3），若點C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點Q的坐標(biāo)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)點P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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