Question

（本題滿分16分）已知橢圓的離心率為.
⑴若圓（x-2）²+(y-1)²=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓W方程；
⑵設(shè)L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60⁰．求的值.
⑶在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點分別為F₁、 F₂，點R在直線l：x－y＋8＝0上．當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時，求的值.

Answer 1

解：（1）設(shè)A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,AB的方程為y-1="k(x-2)" 即y=kx+1-2k①
　∵離心率e=
∴橢圓方程可化為②
將①代入②得（1+2k²）x²+4(1-2k)·kx
+2(1-2k)²-2b²=0
∵x₁+x₂=   ∴k=-1
∴x₁x₂= 
又 
∴即 
∴b²="8    "
∴橢圓方程為
(2)設(shè),則由第二定義知即 或
∴ 或.
（3）當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切.
直線l與x軸于S(-8,0),∽(可證)

解析