Question

【題目】已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣3，﹣3），且圓x2+y2+4y﹣21=0的圓心到l的距離為 ．
（1）求直線(xiàn)l被該圓所截得的弦長(zhǎng)；
（2）求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓x2+y2+4y﹣21=0，可知圓心為（0，﹣2），r=5．

圓心到l的距離為d= ，

∴弦長(zhǎng)L= =2 =4 ．

（2）解：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣3，﹣3），當(dāng)k不存在時(shí)，可得直線(xiàn)方程為x=﹣3，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)為4 ，與題設(shè)不符．

∴k存在，此時(shí)可得直線(xiàn)方程為y+3=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3=0．

圓心到l的距離為 ．即 ，

解得：k= 或k=2．

∴直線(xiàn)l的方程為2x﹣y+3=0或x+2y+9=0．

【解析】1、由題意可知，在半徑、半個(gè)弦長(zhǎng)、圓心到直線(xiàn)的距離構(gòu)成的直角三角形中，利用勾股定理可得L的值。
2、根據(jù)題意討論斜率存在與不存在的情況。利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求得k= 或k=2，即得直線(xiàn)的方程。
【考點(diǎn)精析】利用直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)；圓與直線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．