Question

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（2）若恒成立，求的取值范圍;

（3）設(shè)，且函數(shù)有極大值點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析。

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得所求的切線方程．（2）由題意分離參數(shù)可得在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，故，解得，即為所求范圍．（3）將求導(dǎo)后由及根與系數(shù)的關(guān)系可得極大值點(diǎn)，然后得到， ．設(shè)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，故，即不等式成立．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

∴，

∴，

又，

∴所求的切線方程為，

即

（2）有題意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

∵，

∴在上恒成立，

令，則

∴當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

∴當(dāng)時(shí)， 取得極大值，也為最大值，且，

∴，解得，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）證明：由題意得， ，

∴，

①當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．不符合題意；

②當(dāng)或時(shí)，設(shè)的兩根為和，

∵為函數(shù)的極大值點(diǎn)，

∴，

由， ，知， ，

又由，得，

∵， ，

令，

則，

令, ，

則，

∴當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

∴，

∴

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴．