8．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3-ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a-3）x．
（1）求證：曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線過定點(diǎn)；
（2）若g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，但不是最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出求出方程，從而求出定點(diǎn)即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，不是最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 （1）證明：∵f'（x）=3x2-2ax+a，∴f'（1）=3-a…（1分）
∵f（1）=a+1，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（a+1）=（3-a）（x-1），…（2分）
即a（x-2）=3x-y-2，令x=2，則y=4，
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過定點(diǎn)（2，4）…（3分）
（2）解：g'（x）=f'（x）+a-3=3x2-2ax+2a-3=（x-1）[3x-（2a-3）]，
令g'（x）=0得x=1或$x=\frac{2a-3}{3}$…（4分）
∵g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，∴$\frac{2a-3}{3}＞1$，∴a＞3…（5分）
令g'（x）＞0，得x＜1或$x＞\frac{2a-3}{3}，g（x）$遞增；令g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{2a-3}{3}，g（x）$遞減，
∵g（1）不是g（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值，
∴g（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值為g（3）=18-2a，…（6分）
∴g（3）=18-2a＞g（1）=2a-2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5…（7分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．設(shè)a，b是不同的直線，α、β是不同的平面．下列命題中正確的是（　　）
A．若a⊥α，b∥β，a⊥b，則α⊥βB．若a⊥α，b∥β，a∥b，則α∥β
C．若a⊥α，a∥β，則α⊥βD．若a∥β，b∥β，則α∥b

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19．已知函數(shù)f（x）=|x+m|-|x+2|，若不等式f（x）+x≤0的解集為A，且[-1，1]⊆A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A．（-1，1）B．[-1，1]C．（-1，1]D．[-1，1）

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16．圓錐的母線長為L，過頂點(diǎn)的最大截面的面積為$\frac{1}{2}{L}^{2}$，則圓錐底面半徑與母線長的比$\frac{r}{L}$的取值范圍是（　�。�
A．0$＜\frac{r}{L}＜\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{2}≤\frac{r}{L}＜1$C．0$＜\frac{r}{L}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{r}{L}＜1$

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3．已知偶函數(shù)y=f（x）對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（　�。�
A．$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）B．$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）C．f（0）$＞\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$）D．f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

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13．已知命題p：關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m2-$\frac{5}{2}$m+1=0有兩個(gè)實(shí)根，命題q：x2+（1-4m）x+4m2-1＞0 解集為R．若命題“p∧q”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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20．集合M={x|x2＜2x}，N={x|log2（x-1）≤0}，則M∩N=（　�。�
A．（1，2）B．（1，2]C．[1，2）D．（0，2）

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17．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且點(diǎn)$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在雙曲線C上，則雙曲線C的方程為（　　）
A．$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$B．${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$C．$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$D．$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$

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9．非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，原命題：若夾角為銳角則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|＞|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，則原命題與逆命題的真假為（　�。�
A．真真B．假假C．真假D．假真

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